Результат зимнего семестра

Итак, лекционный семестр подошел к концу. Мною было прочитано 30 лекций, и проведено 25 проверочных работ. Кроме этого, я дал 4 обязательных домашних работы.

По результатам проверочных работ был составлен рейтинг. Окончательный балл рассчитывался так:

• за каждую контрольную можно было получить максимум 5 баллов. (Кроме этого, была возможность заработать несколько бонусных баллов);
• из максимум 25 результатов (у некоторых меньше) было отобрано 20 лучших;
• по ним сосчитан средний балл.

Что получилось:

Турчин 3.71

Липовский 3.66

Моисеенко 3.56

Потапенко 2.72

Слабковский 2.13

Данильченко 2.08

Комухина 2.03

Гревцева 1.50

Румянцев 1.23

Торгашов 0.39

Такую оценку я готов поставить студенту, сдавшему домашние работы. При этом будет применён общепринятый способ округления до целых. (Не сдавшиму всех домашних работ я готов поставить целую часть от среднего балла). Остальные, а также те, кто хочет лучшую оценку, приходят на экзамен. 

Принимать домашние работы и проводить консультацию я буду в среду, 24 декабря (на второй паре). В дальнейшем — по предварительной договорённости. Договориться можно, написав сюда комментарий, написав на электропочту или поймав меня на кафедре.

Математический минимум

Список вопросов, неправильный ответ на которые будет автоматическим приглашением отвечающего на пересдачу:

• Что такое корень уравнения?
  
• Что такое квадратное уравнение? Каково его решение?
  
• Что такое комплексное число?
  
• Что такое производная функции? (Как предел отношения приращений функции и её аргумента.)
  
• Что такое определённый интеграл? (Определение через интегральную сумму.)
  
• Что такое линейное пространство? Что такое вектор?
• Что такое матрица? Как умножить матрицу на число? Как складывать две матрицы?
  
• Как сосчитать определитель матрицы размером 2х2?

Этот список пока что является предварительным. Возможны добавления и небольшие корректировки определений. Окончательный список вопросов будет сформирован до 1 января 2009. Следите за объявлениями.

Список вопросов к экзамену

Список вопросов к экзамену доступен тут.

Контрольная по интегралам 1 декабря

Первого декабря первой парой будет проведена контрольная работа по интегралам. Два варианта, по 16 примеров в каждом (на самом деле всего по 8, просто от одной и той же функции надо будет взять определённый и неопределённый интегралы). Интегралы не сложные, но всё равно не лишним будет повторить правила интегрирования: как делать замену переменной, как вычислять дифференциалы, как интегрировать по частям, как делать подстановку в определённом интеграле.
Второй парой как всегда будет лекция.

Близится конец семестра

До окончания лекционного семестра осталось меньше месяца. Я напоминаю, что необходимым (но не достаточным условием) получения оценки по математике за этот семестр является решение всех домашних работ. Если у кого-то есть какие-то вопросы по домашним работам, непонятно задание, что-то не получается или что угодно ещё — для решения всех этих вопросов есть консультации по понедельникам. Кроме того, вопросы можно задавать прямо здесь, или по электропочте, или можно договориться со мной — и я с радостью встречусь с вами на кафедре в заранее оговорённое время.

Моя цель — научить вас решать определённый класс задач, а не отчислить как можно больше студентов. Но я не могу научить вас против вашей воли.

Домашняя работа №4

Студенты, полностью сделавшие два домашних задания из трёх, получают следующую порцию. Из задачника Демидовича решить примеры с номерами:

1. Ирина Моисеенко: 1630, 1640, 1650, 1660, 1670, 1680, 1690, 1700, 1710, 1720.
2. Илья Липовский: 1631, 1641, 1651, 1661, 1671, 1681, 1691, 1700.1, 1701, 1711.
3. Вячеслав Турчин: 1632, 1642, 1652, 1662, 1672, 1682, 1692, 1700.2, 1702, 1712.
4. Виктория Гревцева: 1629, 1639, 1649, 1659, 1669, 1679, 1689, 1699, 1700.3, 1709.

Демидович — задачник на все времена

Вот тут лежит задачник по математическому анализу под редакцией Б.П. Демидовича. В нём вы найдёте огромное количество задач по нашему курсу (например, оттуда взяты задания, идущие под номером 10 во второй домашней работе). В дальнейшем некоторые задания я буду брать из этого задачника.

Полное библиографическое описание задачника выглядит так:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие. — 13-е изд., испр. — М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо, 1997. — 624 с.

ББК 22.161
Д 30
УДК 517(075.8)

Размер файла: 7 Мб. Формат файла: djvu. Открывать файл можно, например, вот этой программой (~500 kb). Существуют и другие программы. В операционных системах, которые не требуют для своей работы антивируса, есть djvulibre и универсальный evince (показывает djvu только начиная с версии, кажется, 0.8.). Также можно поставить плагин для вашего браузера (мне встречались плагины для IE и Firefox, для Оперы тоже наверняка существует что-то подобное).

Домашняя работа №1

Убедительная просьба ко всем, у кого еще не зачтена первая домашняя работа: оформите всё, что вы уже решили, и сдайте мне в среду. Лучше всего, если работа будет выполнена на отдельных листах, а не в рабочей тетради.

Остальные ваши работы я тоже очень жду.

Домашние работы: обратная связь

Решённые задания всегда можно отдать мне в ауд. 43б. В моё отсутствие просто оставляйте их у меня на столе (прямо напротив двери). Кроме того, мне всегда можно послать решение или задать вопрос по электропочте: yury.kirienko@gmail.com.

Проверочное задание №14

Задание №14 заключалось в том, чтобы почленно проинтегрировать ряд для синуса (косинуса) и получить ряд для косинуса (синуса). Почти все написали ряд Тейлора для предложенной функции. Многие начали интегрировать полученное. Липовский и Турчин сделали это правильно для первых трёх членов ряда. Но никто не догадался, что сумма проинтегрированного ряда снова даёт тригонометрическую функцию. (При том, что у многих были написаны оба ряда.) Наверняка можно было это увидеть, если проинтегрировать общий член. Этого однако почему-то никто не сделал.

Более всего ответ похож на правильный у Евгении (она проинтегрировала еще и ряд для sh(x), хотя коэффициенты разложения нашла неверно).

Вот тут я достаточно подробно разобрал для вас эти задания: лист 1 и лист 2. Пожалуйста, посмотрите и разберитесь, там не сложно, и вы всё это видели в лекциях. На следующей паре мы продолжим учиться интегрировать почленно.

Осенние праздники

По предварительным данным в ближайшие праздники переноса рабочих дней не будет. (По крайней мере в университете.) Лекция в понедельник состоится как ни в чём не бывало.

Домашние работы: правила игры

Напоминаю, что для получения допуска к экзамену вам необходимо до начала сессии решить все домашние задания. По состоянию на 27/10/2008 их вам выдано три. Следующее задание будет выдано только тем, кто решил как минимум два из них.

В дальнейшем правило сохранится: следующее задание получает тот лишь, у кого по предыдущим домашним работам не более одного долга. В этом семестре я планирую еще как минимум три домашних работы.

Граждане пассажиры, экономьте ваше время и своевременно сдавайте домашние работы! Этим вы убережёте себя от проблем в конце семестра.

Домашнее задание №2

В ходе выполнения данной работы вы должны научиться вычислять производные разных порядков.

Домашнее задание состоит из десяти примеров. Для получения зачёта по этой теме необходимо правильно решить все десять. Полный список (всего сто примеров) можно посмотреть тут.

Однако тем студентам, которые уверены в своём умении вычислять производные, я предлагаю более быстрый способ получения зачёта по теме. Можно прийти на консультацию в понедельник (либо договориться со мной на какое-то другое время) и решить четыре задания из полного списка по моему выбору. Вам будет предложены три задания из номеров 1-80 и одно задание из номеров 91-100. Если вы правильно решите все эти четыре задания, тогда остальные задания вы можете не делать.

Проверочное задание №9

Тут результаты последнего проверочного задания…
А вот тут можно посмотреть его решение. Пожалуйста, не поленитесь, посмотрите. В понедельник мы продолжим изучать производные.

Кроме этого вам будет дано как минимум одно домашнее задание на эту тему. Вообще я планировал два задания, но если получится, то дам три. (Недавно я с удивлением узнал, что в вашей учебной программе по математике предполагается 221 час аудиторной нагрузки и 229 часов внеаудиторной работы.)

Проверочное задание №№7,8

В среду была дана двойная норма примеров для решения на паре: за эту пару (№8) и за предыдущую (№7). Соответственно, и оценки тоже две. По-прежнему за каждую работу в среднем 5 баллов, но в этот раз можно было получить дополнительные баллы (в этот раз бонусный балл полагался за последнее задание (производная показательной функции), но это задание никто не взялся решать). Времени было отведено почти 40 минут и для всех примеров можно было найти похожие, которые мы разбирали на лекции. Тем не менее не все справились с решением.

В первой части заданий правильные графики функций и их производных (ну, скажем так, достаточно близкие к правильным)  получили Турчин и Липовский.

Для нахождения производной косинуса по определению производной достаточно было повторить те же рассуждения, что мы видели на прошлой лекции для синуса (с небольшими поправками). Однако только Вячеслав догадался это сделать.

Во второй части правильно вычислили производные всё те же Илья и Вячеслав, и с ними Ирина.

Анонс

В среду, 8 октября, на паре будет дана двойная норма примеров. Повторите перед парой темы  пределы функции, производные и готовьтесь строить графики разных функций. В качестве бонусного задания будет дано найти производную показательной функции при помощи определения производной.

Проверочное задание №6

Результат в среднем выше, чем за предыдущее задание, хотя и далёк от идеала.

1. Нарисовать график функции:
I y = 2cos(x) - 1
Косинусоида, растянутая в 2 раза по оси y и сдвинутая вниз на единицу:
y(0) = 2*1 - 1 = 1, y(π/2) = 2*0 - 1 = -1

II y = tg(2x) + 1
График тангенса, растянутый в 2 раза по оси x и сдвинутый вверх на единицу.

2. Нарисовать график функции, обратной к:
I Функция, обратная к y = x³, есть

Действительно, если возвести её в третью степень, получим y = x.
II Функция, обратная к , есть

Обратная к показательной функции есть логарифмическая. Обратная к логарифмической функции есть показательная.
Всегда помним, что прямая и обратная функции симметричны относительно прямой y = x.

3. Вычислить предел:
Имеем неопределённость вида [∞/∞]. Нужно как-то от неё избавиться. Идея: давайте поделим числитель и знаменатель дроби на старшую (самую большую) степень многочленов в числителе и знаменателе. В первом варианте старшая степень есть 2, во втором — 3.
I

II


В такого рода примерах ответ можно увидеть сразу: достаточно посмотреть на старшие степени многочленов в числителе и знаменателе. Если старшие степени одинаковы, как в примере I варианта, то ответ — отношение коэффициентов при старших степенях (-1/1). Если старшая степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе, как в примере II варианта, то ответ всегда нуль. Если больше, то ∞.
Правильно решили это задание: Турчин, Липовский, Слабковский, Моисеенко и Данильченко.

4. Вычислить предел:
Примеры не содержали никаких неопределённостей. Нужно было просто подставить нуль в выражения и записать ответ. Выяснилось, что немногие помнят значения тригонометрических функций в точке π/4. А ведь я предупреждал, что задания будут…
I

II

Правильный ответ дал только Роман.

5. В этом задании у вас был огромный простор для фантазии. Прелесть математики как раз в том, что вы можете делать всё, что угодно, лишь бы это не противоречило ввёденным ранее (вами же!) правилам.

Привести пример функции:

I …с двумя (или более) точками разрыва.
Можно было взять любую непрерывную функцию (хотя бы даже линейную: y=kx+b), и выколоть из неё две точки, т.е. наложить на область определения ограничения: x₁≠a₁ и x₂≠a₂. Можно было сконструировать функцию, похожую на sign(x), только с двумя точками разрыва (сигнум имеет только одну, поэтому не подходит под условие задачи). Можно было взять обычный тангенс (или котангенс), который имеет бесконечно много точек разрыва…

II …ограниченной снизу, с точкой разрыва.
Тут sign(x) вполне подойдёт (Торгашов). Можно было выколоть одну точку из параболы или синусоиды. Можно было взять линейную функцию, выколоть точку и обрезать снизу (кажется, это попытался сделать Слабковский).

Домашнее задание по квадратным уравнениям

Почти все уже показали мне частично или полностью выполненное домашнее задание. Полностью выполнила задание пока что только Виктория.
Всем остальным: доделывайте не сделанное и исправляйте ошибки в заданиях, решённых неправильно. В понедельник на консультации можно будет разобрать непонятные вопросы по этой теме.

Итак, тема зачтена следующим студентам: Турчину, Потапенко, Гревцевой. Ирине осталось одно задание, Илье Липовскому — два (мы отвлеклись и я забыл: в первом задании действительно был пропущен квадрат, уравнение — биквадратное). И еще, кажется, у меня остались чьи-то задания (Евгении?). Они остались в ауд. 43б, так что посмотреть не могу.

Лекция в четверг, 2 октября 2008

В четверг, 2 октября будет прочитана лекция взамен пропавшей в понедельник. По договорённости с группой она начнётся в 11:00. Аудитория пока неизвестна, предположительно это будет на третьем этаже в недрах кафедры молекулярной физики.

Пожалуйста, сообщите всем одногруппникам.

Проверочное задание №5

Несмотря на простоту заданий уровень решений оказался довольно низким: лучший результат у Тараса, решившего правильно два задания из пяти. Роман взялся решать 4 задания, но везде в чём-то ошибался (например, в четвёртом задании зачёркнут правильный ответ и написан неправильный).

Друзья, все дружно открываем школьный учебник и смотрим, как выглядят графики основных тригонометрических функций. Если нет школьного учебника, посмотрите на Википедье: графики, статью про тригонометрические функции и статью про обратные тригонометрические функции.

1. Нарисовать график функции:
I y = 2 + sin x — синусоида, сдвинутая вверх на 2
II y = cos (x + π/4) — косинусоида, сдвинутая влево на π/4
Правильно нарисовал Тарас, кусочно-правильно (но зачёркнуто) — Евгения.


2. Нарисовать график функции, обратной к:
I y = tg x, где x ∈ [-π/2; π/2]
II y = ctg x, где x ∈ [0; π]
Напоминаю, что обратная к тангенсу функция есть арктангенс, а к котангенсу — арккотангенс.
У Романа был правильный кусок, похожий на половину арктангенса.

Вычислить предел:
3.

I Ответ: -7
II Ответ: -1/3
Правильный ответ дал Тарас.
(Нужно было поделить числитель и знаменатель на x² — старшую степень многочлена, тогда предел сразу виден.)

4.

I Ответ: 0
II Ответ: √3/4

5. Указать область определения функции:
I y = e^x/(x² - 1). Знаменатель не должен обращаться в ноль.
Ответ: вся числовая прямая кроме точек ±1:

(-∞;-1)U(-1;1)U(1;+∞)
II y = (sin x + cos 2x)/√(x-1). Корень вычисляем от неотрицательных чисел и знаменатель не обращается в ноль.
Ответ: [-1;1)U(1;+∞)
Вячеслав вспомнил правильные условия, но был невнимателен при указании границ интервалов.

Анонс лекции в среду, 01/10/08

Завтра все сдаём домашнюю работу по квадратным уравнениям. Никакие отговорки ("Я не разобрался" или "Я забыл дома" и т.п.) не проходят. Сдавайте что сделали. Не сдавшие получают добавку.

Кроме того, повторите тему пределы (как обычно в конце пары будут примеры на эту тему) и всё, что вы знаете о функциях. И как всегда, не забудьте взять с собой свой мозг, он вам очень пригодится.

Кто предупреждён, тот вооружён.

Консультация

Была просьба о консультации.
Предлагаю на этой неделе назначить консультацию на пятницу (26 сентября) в 11:00 в ауд. 43б.
А на постоянной основе сделать её в понедельник 3-й парой в ауд. 46б. Сразу после лекции.
Если есть какие-то другие предложения, если время выбрано неудобно или что угодно еще — пишите.

Проверочное задание №4

Результаты работы.

Комментарии по решению:
Вычислить предел:
1. Ответ в обоих вариантах: ноль. Правильный ответ получили Слабковский, Липовский, Турчин и Румянцев (но последний получил его в результате неправильных действий, минус четверть балла).
2. Ответ в обоих вариантах: предела не существует. Правильный ответ дала Евгения. Илья Потапенко получил правильный ответ, но не осознал его. Еще несколько человек не знают, чему равен sin(π/2). Учим основы тригонометрии: как выглядят графики синуса и косинуса. Теперь буду время от времени включать их в задания.

Привести пример
3. неопределённости вида [∞+∞] (I вар.) или [0∞] (II вар.). Необходимо было:
а) записать две последовательности, каждая из которых дала бы в пределе требуемый результат (0 или ∞)
б) записать требуемое действие на этими последовательностями (сумму или произведение). Это был бы полный ответ. В такой форме его дали Слабковский и Данильченко.
4. функции, заданной в той или иной форме. Ответы:
I вар.: неявно заданная функция трёх переменных: любое выражение вида
f(x,y,z) = 0
II вар.: параметрически заданная функция двух переменных: система из двух уравнений, каждое из который содержит переменную и параметр (необходимо было указать, что именно есть параметр). Например, функция переменных x и y, заданная при помощи параметра t:
x = f_1(t),
y = f_2(t).

5. Дать определение
I вар.: бесконечно большой последовательности. Ответ должен звучать примерно так: "бесконечно большой последовательностью называют числовую последовательность {x_n}, обладающую свойством..."
II вар.: числа e (числа Эйлера, основания натуральных логарифмов). Все написали, что это число, равное 2.71... Однако такое определение несёт мало информации: из него непонятно, чем число 2.71... лучше любого другого числа, скажем, 7.21... Я достаточно долго рассказывал про то, что число e есть предел последовательности (1+1/n)^n. Или, что e есть сумма ряда 1+1/1!+1/2!+1/3! + ... Но, к моему сожалению, об этом никто ничего не сказал.

Проверочное задание №3

Решение задания будет опубликовано чуть позже.

Краткий комментарий по результатам:

1. Решить систему, сводящуюся к квадратному уравнению. Правильный ответ получили Турчин и Моисеенко. Остальные, пытавшиеся решить, либо ошиблись при решении, либо не довели его до конца.

2. Решить биквадратное уравнение. Правильно вычислил все четыре корня только Вячеслав Турчин. Будьте внимательны: многие напутали знаки при вычислении дискриминанта и корней. Кроме того, не забывайте сокращать общие множители в числителе и знаменателе (в том числе и знак "минус"). Это упростит вам жизнь.

3. Дать определение. Сделали практически все. С некоторых снята часть балла за то, что написана формула, но самого определения нет. Пожалуйста, привыкайте давать определения чётко: если просят определить что-то, то определение должно быть конкретным: "что-то есть то-то и то-то", "что-то есть величина, заданная формулой ... , где ..." и т.п.

4. Вычислить предел. Правильный ответ дал только Роман. В обоих вариантах ответ "x_n стремится к нулю". Большинство решающих почему-то получили неопределённость.

5. Доказать теорему. На лекции я примерно рассказал о пути решения. За решение полагалось 2 бонусных балла (то есть максимум три балла). Ирина и Вячеслав правильно поняли способ доказательства, но не довели рассуждение до конца. Получили 2 и 1 балл соответственно.

Программа на 22-24 сентября

На понедельник повторить определения предела последовательности и связанные определения. На практическом занятии Н.Я. рассмотрит с вами действия над пределами. Я дам вам вопросы и задания на те же темы.

Плюс наши горячо любимые квадратные уравнения. Кто на этой неделе покажет неудовлетворительный результат по решению квадратных уравнений, тот получит индивидуальное задание. Размер его вас приятно порадует.

Проверочное задание №2

Тут лежит решение проверочного задания, которое было предложено в среду, 17 сентября 2008.

Уважаемые студенты, хочу вас предупредить, что мы будем продолжать решать квадратные уравнения на каждой проверочной работе. До тех пор, пока вы не научитесь это делать не задумываясь, и при этом получая правильный ответ. Поэтому у меня к вам просьба: пожалуйста, разберитесь с этим поскорее. Иначе не останется времени на более содержательные задания. Я постараюсь до конца этой недели сделать для вас подборку задач на эту тему…

Рейтинг

Рейтинг ведется следующим образом. В конце лекции даётся пять заданий, из которых как минимум три являются лёгкими (то есть достаточно просто записать ответ). За каждое правильно решённое задание начисляется один балл. За частичное решение, неполный ответ или даже просто за попытку решения (если попытка была в правильном направлении) начисляется часть балла — 0.25, 0.5 или 0.75.

Задания даются по пройденному материалу. При решении можно пользоваться конспектом (и вообще чем угодно, кроме помощи одногруппников). Задания, однако, составлены таким образом, что к данному на лекции материалу следует добавить небольшое количество серого вещества мозга. Нужно просто увидеть, что именно из данных на лекции определений, теорем или формул требуется в данном конкретном случае.

Внимательность на лекции плюс повторение перед лекцией пройденного материала — залог успешного написания контрольных работ. Не поленитесь вечером накануне лекции посмотреть в конспект и вспомнить, что происходило на прошлых парах.

Итоговый лист будет всегда лежать тут. Если вы хотите иметь какую-то дополнительную статистику, дайте мне знать. Ну и вообще, говорите о ваших пожеланиях по ведению учебного процесса.

Intro

В этом блоге будут публиковаться заметки, связанные с курсом лекций по математике в 118-й группе ИФИТ ДВГУ: задания, ссылки на учебные материалы, текущий рейтинг, план отчислений на семестр и проч.
Добро пожаловать.

Не стесняйтесь задавать вопросы. Можно прямо здесь.
Буду очень рад вашим мыслям и пожеланиям о наполнении этого информационного ресурса.