Проверочное задание №14

Задание №14 заключалось в том, чтобы почленно проинтегрировать ряд для синуса (косинуса) и получить ряд для косинуса (синуса). Почти все написали ряд Тейлора для предложенной функции. Многие начали интегрировать полученное. Липовский и Турчин сделали это правильно для первых трёх членов ряда. Но никто не догадался, что сумма проинтегрированного ряда снова даёт тригонометрическую функцию. (При том, что у многих были написаны оба ряда.) Наверняка можно было это увидеть, если проинтегрировать общий член. Этого однако почему-то никто не сделал.

Более всего ответ похож на правильный у Евгении (она проинтегрировала еще и ряд для sh(x), хотя коэффициенты разложения нашла неверно).

Вот тут я достаточно подробно разобрал для вас эти задания: лист 1 и лист 2. Пожалуйста, посмотрите и разберитесь, там не сложно, и вы всё это видели в лекциях. На следующей паре мы продолжим учиться интегрировать почленно.

Осенние праздники

По предварительным данным в ближайшие праздники переноса рабочих дней не будет. (По крайней мере в университете.) Лекция в понедельник состоится как ни в чём не бывало.

Домашние работы: правила игры

Напоминаю, что для получения допуска к экзамену вам необходимо до начала сессии решить все домашние задания. По состоянию на 27/10/2008 их вам выдано три. Следующее задание будет выдано только тем, кто решил как минимум два из них.

В дальнейшем правило сохранится: следующее задание получает тот лишь, у кого по предыдущим домашним работам не более одного долга. В этом семестре я планирую еще как минимум три домашних работы.

Граждане пассажиры, экономьте ваше время и своевременно сдавайте домашние работы! Этим вы убережёте себя от проблем в конце семестра.

Домашнее задание №2

В ходе выполнения данной работы вы должны научиться вычислять производные разных порядков.

Домашнее задание состоит из десяти примеров. Для получения зачёта по этой теме необходимо правильно решить все десять. Полный список (всего сто примеров) можно посмотреть тут.

Однако тем студентам, которые уверены в своём умении вычислять производные, я предлагаю более быстрый способ получения зачёта по теме. Можно прийти на консультацию в понедельник (либо договориться со мной на какое-то другое время) и решить четыре задания из полного списка по моему выбору. Вам будет предложены три задания из номеров 1-80 и одно задание из номеров 91-100. Если вы правильно решите все эти четыре задания, тогда остальные задания вы можете не делать.

Проверочное задание №9

Тут результаты последнего проверочного задания…
А вот тут можно посмотреть его решение. Пожалуйста, не поленитесь, посмотрите. В понедельник мы продолжим изучать производные.

Кроме этого вам будет дано как минимум одно домашнее задание на эту тему. Вообще я планировал два задания, но если получится, то дам три. (Недавно я с удивлением узнал, что в вашей учебной программе по математике предполагается 221 час аудиторной нагрузки и 229 часов внеаудиторной работы.)

Проверочное задание №№7,8

В среду была дана двойная норма примеров для решения на паре: за эту пару (№8) и за предыдущую (№7). Соответственно, и оценки тоже две. По-прежнему за каждую работу в среднем 5 баллов, но в этот раз можно было получить дополнительные баллы (в этот раз бонусный балл полагался за последнее задание (производная показательной функции), но это задание никто не взялся решать). Времени было отведено почти 40 минут и для всех примеров можно было найти похожие, которые мы разбирали на лекции. Тем не менее не все справились с решением.

В первой части заданий правильные графики функций и их производных (ну, скажем так, достаточно близкие к правильным)  получили Турчин и Липовский.

Для нахождения производной косинуса по определению производной достаточно было повторить те же рассуждения, что мы видели на прошлой лекции для синуса (с небольшими поправками). Однако только Вячеслав догадался это сделать.

Во второй части правильно вычислили производные всё те же Илья и Вячеслав, и с ними Ирина.

Анонс

В среду, 8 октября, на паре будет дана двойная норма примеров. Повторите перед парой темы  пределы функции, производные и готовьтесь строить графики разных функций. В качестве бонусного задания будет дано найти производную показательной функции при помощи определения производной.

Проверочное задание №6

Результат в среднем выше, чем за предыдущее задание, хотя и далёк от идеала.

1. Нарисовать график функции:
I y = 2cos(x) - 1
Косинусоида, растянутая в 2 раза по оси y и сдвинутая вниз на единицу:
y(0) = 2*1 - 1 = 1, y(π/2) = 2*0 - 1 = -1

II y = tg(2x) + 1
График тангенса, растянутый в 2 раза по оси x и сдвинутый вверх на единицу.

2. Нарисовать график функции, обратной к:
I Функция, обратная к y = x³, есть

Действительно, если возвести её в третью степень, получим y = x.
II Функция, обратная к , есть

Обратная к показательной функции есть логарифмическая. Обратная к логарифмической функции есть показательная.
Всегда помним, что прямая и обратная функции симметричны относительно прямой y = x.

3. Вычислить предел:
Имеем неопределённость вида [∞/∞]. Нужно как-то от неё избавиться. Идея: давайте поделим числитель и знаменатель дроби на старшую (самую большую) степень многочленов в числителе и знаменателе. В первом варианте старшая степень есть 2, во втором — 3.
I

II


В такого рода примерах ответ можно увидеть сразу: достаточно посмотреть на старшие степени многочленов в числителе и знаменателе. Если старшие степени одинаковы, как в примере I варианта, то ответ — отношение коэффициентов при старших степенях (-1/1). Если старшая степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе, как в примере II варианта, то ответ всегда нуль. Если больше, то ∞.
Правильно решили это задание: Турчин, Липовский, Слабковский, Моисеенко и Данильченко.

4. Вычислить предел:
Примеры не содержали никаких неопределённостей. Нужно было просто подставить нуль в выражения и записать ответ. Выяснилось, что немногие помнят значения тригонометрических функций в точке π/4. А ведь я предупреждал, что задания будут…
I

II

Правильный ответ дал только Роман.

5. В этом задании у вас был огромный простор для фантазии. Прелесть математики как раз в том, что вы можете делать всё, что угодно, лишь бы это не противоречило ввёденным ранее (вами же!) правилам.

Привести пример функции:

I …с двумя (или более) точками разрыва.
Можно было взять любую непрерывную функцию (хотя бы даже линейную: y=kx+b), и выколоть из неё две точки, т.е. наложить на область определения ограничения: x₁≠a₁ и x₂≠a₂. Можно было сконструировать функцию, похожую на sign(x), только с двумя точками разрыва (сигнум имеет только одну, поэтому не подходит под условие задачи). Можно было взять обычный тангенс (или котангенс), который имеет бесконечно много точек разрыва…

II …ограниченной снизу, с точкой разрыва.
Тут sign(x) вполне подойдёт (Торгашов). Можно было выколоть одну точку из параболы или синусоиды. Можно было взять линейную функцию, выколоть точку и обрезать снизу (кажется, это попытался сделать Слабковский).

Домашнее задание по квадратным уравнениям

Почти все уже показали мне частично или полностью выполненное домашнее задание. Полностью выполнила задание пока что только Виктория.
Всем остальным: доделывайте не сделанное и исправляйте ошибки в заданиях, решённых неправильно. В понедельник на консультации можно будет разобрать непонятные вопросы по этой теме.

Итак, тема зачтена следующим студентам: Турчину, Потапенко, Гревцевой. Ирине осталось одно задание, Илье Липовскому — два (мы отвлеклись и я забыл: в первом задании действительно был пропущен квадрат, уравнение — биквадратное). И еще, кажется, у меня остались чьи-то задания (Евгении?). Они остались в ауд. 43б, так что посмотреть не могу.

Лекция в четверг, 2 октября 2008

В четверг, 2 октября будет прочитана лекция взамен пропавшей в понедельник. По договорённости с группой она начнётся в 11:00. Аудитория пока неизвестна, предположительно это будет на третьем этаже в недрах кафедры молекулярной физики.

Пожалуйста, сообщите всем одногруппникам.

Проверочное задание №5

Несмотря на простоту заданий уровень решений оказался довольно низким: лучший результат у Тараса, решившего правильно два задания из пяти. Роман взялся решать 4 задания, но везде в чём-то ошибался (например, в четвёртом задании зачёркнут правильный ответ и написан неправильный).

Друзья, все дружно открываем школьный учебник и смотрим, как выглядят графики основных тригонометрических функций. Если нет школьного учебника, посмотрите на Википедье: графики, статью про тригонометрические функции и статью про обратные тригонометрические функции.

1. Нарисовать график функции:
I y = 2 + sin x — синусоида, сдвинутая вверх на 2
II y = cos (x + π/4) — косинусоида, сдвинутая влево на π/4
Правильно нарисовал Тарас, кусочно-правильно (но зачёркнуто) — Евгения.


2. Нарисовать график функции, обратной к:
I y = tg x, где x ∈ [-π/2; π/2]
II y = ctg x, где x ∈ [0; π]
Напоминаю, что обратная к тангенсу функция есть арктангенс, а к котангенсу — арккотангенс.
У Романа был правильный кусок, похожий на половину арктангенса.

Вычислить предел:
3.

I Ответ: -7
II Ответ: -1/3
Правильный ответ дал Тарас.
(Нужно было поделить числитель и знаменатель на x² — старшую степень многочлена, тогда предел сразу виден.)

4.

I Ответ: 0
II Ответ: √3/4

5. Указать область определения функции:
I y = e^x/(x² - 1). Знаменатель не должен обращаться в ноль.
Ответ: вся числовая прямая кроме точек ±1:

(-∞;-1)U(-1;1)U(1;+∞)
II y = (sin x + cos 2x)/√(x-1). Корень вычисляем от неотрицательных чисел и знаменатель не обращается в ноль.
Ответ: [-1;1)U(1;+∞)
Вячеслав вспомнил правильные условия, но был невнимателен при указании границ интервалов.