Проверочное задание №6

Результат в среднем выше, чем за предыдущее задание, хотя и далёк от идеала.

1. Нарисовать график функции:
I y = 2cos(x) - 1
Косинусоида, растянутая в 2 раза по оси y и сдвинутая вниз на единицу:
y(0) = 2*1 - 1 = 1, y(π/2) = 2*0 - 1 = -1

II y = tg(2x) + 1
График тангенса, растянутый в 2 раза по оси x и сдвинутый вверх на единицу.

2. Нарисовать график функции, обратной к:
I Функция, обратная к y = x³, есть

Действительно, если возвести её в третью степень, получим y = x.
II Функция, обратная к , есть

Обратная к показательной функции есть логарифмическая. Обратная к логарифмической функции есть показательная.
Всегда помним, что прямая и обратная функции симметричны относительно прямой y = x.

3. Вычислить предел:
Имеем неопределённость вида [∞/∞]. Нужно как-то от неё избавиться. Идея: давайте поделим числитель и знаменатель дроби на старшую (самую большую) степень многочленов в числителе и знаменателе. В первом варианте старшая степень есть 2, во втором — 3.
I

II


В такого рода примерах ответ можно увидеть сразу: достаточно посмотреть на старшие степени многочленов в числителе и знаменателе. Если старшие степени одинаковы, как в примере I варианта, то ответ — отношение коэффициентов при старших степенях (-1/1). Если старшая степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе, как в примере II варианта, то ответ всегда нуль. Если больше, то ∞.
Правильно решили это задание: Турчин, Липовский, Слабковский, Моисеенко и Данильченко.

4. Вычислить предел:
Примеры не содержали никаких неопределённостей. Нужно было просто подставить нуль в выражения и записать ответ. Выяснилось, что немногие помнят значения тригонометрических функций в точке π/4. А ведь я предупреждал, что задания будут…
I

II

Правильный ответ дал только Роман.

5. В этом задании у вас был огромный простор для фантазии. Прелесть математики как раз в том, что вы можете делать всё, что угодно, лишь бы это не противоречило ввёденным ранее (вами же!) правилам.

Привести пример функции:

I …с двумя (или более) точками разрыва.
Можно было взять любую непрерывную функцию (хотя бы даже линейную: y=kx+b), и выколоть из неё две точки, т.е. наложить на область определения ограничения: x₁≠a₁ и x₂≠a₂. Можно было сконструировать функцию, похожую на sign(x), только с двумя точками разрыва (сигнум имеет только одну, поэтому не подходит под условие задачи). Можно было взять обычный тангенс (или котангенс), который имеет бесконечно много точек разрыва…

II …ограниченной снизу, с точкой разрыва.
Тут sign(x) вполне подойдёт (Торгашов). Можно было выколоть одну точку из параболы или синусоиды. Можно было взять линейную функцию, выколоть точку и обрезать снизу (кажется, это попытался сделать Слабковский).