Решение прошлой работы (скобка Пуассона)

Правильного ответа не дал никто.
Почти никто не вспомнил, что в векторном произведении подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.


Я ставил один балл (из четырёх) всем, у кого получился нуль, и полбалла тем, у кого в ответе остались производные. У двух человек получилось что-то, отдалённо напоминающее ответ — они получили два балла.

Разберитесь в решении, я потом ещё раз проверю на похожем задании (там будет также и скалярное произведение).

Решения задач про пружинку

Два прошлых раза я давал вам задачки про пружинки. На самом деле задачки были не вполне одинаковые по сложности в разных вариантах, и, наверное, правильнее было бы дать эти задачи в другой комбинации. Но что есть, то есть. Не переживайте, при проверке работ и выставлении баллов я сделал поправку на сложность.

Показываю решения задач (можно ткнуть — появится картинка крупнее).

1) две пружинки под прямым углом:


2) пружинка, приделанная к маятнику:


(В прошлом году я давал вторую задачу как раз в облегчённой формулировке, но в этом году я забыл, что надо изменть условие.)

Результаты контрольных по практике

Водопьянова, Гордиенко и Зорина — в 3-й контрольной зачтено всё кроме последнего (8-го) задания.
Замятин — в 3-й контрольной зачтены номера 1, 2, 3.

Замечание для всех: пожалуйста, потренируйтесь на любом тетраэдре:
1. задайте в пространстве четыре точки, не лежащие в одной плоскости;
2. из одной вершины тетраэдра опустите перпендикуляр на противолежащую грань (это вы умеете делать, как я погляжу);
3. как найти уравнение этой высоты? Вы начинаете правильно действовать (находите параметрическое уравнение высоты, подставляете его в уравнение противолежащей плоскости, решаете, находите значение параметра (у всех он обозначен как t). Но потом почему-то получаете точку, которая оказывается не лежащей на противолежащей грани. Кроме того, никто не вычислил длину этой высоты (расстояние от вершны до плоскости).

Сделайте дома парочку примеровсамостоятельно, и тогда на контрольной у вас всё получится.

О математических обозначениях

Не важно, как вы обозначите переменные. Лишь бы вы понимали, что вы делаете. (Как видите, за это решение студент получил 15 баллов из 15 возможных).

Посмотреть картинку крупнее.

Решение задачи семинара в гр. 125

Решение задачи с семинара по теормеханике, прошедшего 14 марта в гр. 125:


В группах 121 и 123 задачи были чуть другие. Т.е. принцип тот же, но диффур другой.

На тему второго задания

Как сделать обновление картинки в GUI.

Вот тут приводится некий пример вставки картинки в окошко, в котором к тому же показано, как сделать, чтобы сборщик мусора не убивал обновляемую картинку. Только в приведённом ответе опечатка, в третьей сточке снизу вместо img следует читать img2.

Татьяна, замените в вашей программе 51-ю строчку:
panel1 = t.Label(window, image=imtk)
на две следующих:
panel1.configure(image = imtk)
panel1.image = imtk


Напоминаю, что сдать ваши работы вместе с отчётами по практике можно в понедельник, 17 января, с 13:00 до 15:00.

Проверочное задание №14

Задание №14 заключалось в том, чтобы почленно проинтегрировать ряд для синуса (косинуса) и получить ряд для косинуса (синуса). Почти все написали ряд Тейлора для предложенной функции. Многие начали интегрировать полученное. Липовский и Турчин сделали это правильно для первых трёх членов ряда. Но никто не догадался, что сумма проинтегрированного ряда снова даёт тригонометрическую функцию. (При том, что у многих были написаны оба ряда.) Наверняка можно было это увидеть, если проинтегрировать общий член. Этого однако почему-то никто не сделал.

Более всего ответ похож на правильный у Евгении (она проинтегрировала еще и ряд для sh(x), хотя коэффициенты разложения нашла неверно).

Вот тут я достаточно подробно разобрал для вас эти задания: лист 1 и лист 2. Пожалуйста, посмотрите и разберитесь, там не сложно, и вы всё это видели в лекциях. На следующей паре мы продолжим учиться интегрировать почленно.

Проверочное задание №9

Тут результаты последнего проверочного задания…
А вот тут можно посмотреть его решение. Пожалуйста, не поленитесь, посмотрите. В понедельник мы продолжим изучать производные.

Кроме этого вам будет дано как минимум одно домашнее задание на эту тему. Вообще я планировал два задания, но если получится, то дам три. (Недавно я с удивлением узнал, что в вашей учебной программе по математике предполагается 221 час аудиторной нагрузки и 229 часов внеаудиторной работы.)

Проверочное задание №6

Результат в среднем выше, чем за предыдущее задание, хотя и далёк от идеала.

1. Нарисовать график функции:
I y = 2cos(x) - 1
Косинусоида, растянутая в 2 раза по оси y и сдвинутая вниз на единицу:
y(0) = 2*1 - 1 = 1, y(π/2) = 2*0 - 1 = -1

II y = tg(2x) + 1
График тангенса, растянутый в 2 раза по оси x и сдвинутый вверх на единицу.

2. Нарисовать график функции, обратной к:
I Функция, обратная к y = x³, есть

Действительно, если возвести её в третью степень, получим y = x.
II Функция, обратная к , есть

Обратная к показательной функции есть логарифмическая. Обратная к логарифмической функции есть показательная.
Всегда помним, что прямая и обратная функции симметричны относительно прямой y = x.

3. Вычислить предел:
Имеем неопределённость вида [∞/∞]. Нужно как-то от неё избавиться. Идея: давайте поделим числитель и знаменатель дроби на старшую (самую большую) степень многочленов в числителе и знаменателе. В первом варианте старшая степень есть 2, во втором — 3.
I

II


В такого рода примерах ответ можно увидеть сразу: достаточно посмотреть на старшие степени многочленов в числителе и знаменателе. Если старшие степени одинаковы, как в примере I варианта, то ответ — отношение коэффициентов при старших степенях (-1/1). Если старшая степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе, как в примере II варианта, то ответ всегда нуль. Если больше, то ∞.
Правильно решили это задание: Турчин, Липовский, Слабковский, Моисеенко и Данильченко.

4. Вычислить предел:
Примеры не содержали никаких неопределённостей. Нужно было просто подставить нуль в выражения и записать ответ. Выяснилось, что немногие помнят значения тригонометрических функций в точке π/4. А ведь я предупреждал, что задания будут…
I

II

Правильный ответ дал только Роман.

5. В этом задании у вас был огромный простор для фантазии. Прелесть математики как раз в том, что вы можете делать всё, что угодно, лишь бы это не противоречило ввёденным ранее (вами же!) правилам.

Привести пример функции:

I …с двумя (или более) точками разрыва.
Можно было взять любую непрерывную функцию (хотя бы даже линейную: y=kx+b), и выколоть из неё две точки, т.е. наложить на область определения ограничения: x₁≠a₁ и x₂≠a₂. Можно было сконструировать функцию, похожую на sign(x), только с двумя точками разрыва (сигнум имеет только одну, поэтому не подходит под условие задачи). Можно было взять обычный тангенс (или котангенс), который имеет бесконечно много точек разрыва…

II …ограниченной снизу, с точкой разрыва.
Тут sign(x) вполне подойдёт (Торгашов). Можно было выколоть одну точку из параболы или синусоиды. Можно было взять линейную функцию, выколоть точку и обрезать снизу (кажется, это попытался сделать Слабковский).

Проверочное задание №4

Результаты работы.

Комментарии по решению:
Вычислить предел:
1. Ответ в обоих вариантах: ноль. Правильный ответ получили Слабковский, Липовский, Турчин и Румянцев (но последний получил его в результате неправильных действий, минус четверть балла).
2. Ответ в обоих вариантах: предела не существует. Правильный ответ дала Евгения. Илья Потапенко получил правильный ответ, но не осознал его. Еще несколько человек не знают, чему равен sin(π/2). Учим основы тригонометрии: как выглядят графики синуса и косинуса. Теперь буду время от времени включать их в задания.

Привести пример
3. неопределённости вида [∞+∞] (I вар.) или [0∞] (II вар.). Необходимо было:
а) записать две последовательности, каждая из которых дала бы в пределе требуемый результат (0 или ∞)
б) записать требуемое действие на этими последовательностями (сумму или произведение). Это был бы полный ответ. В такой форме его дали Слабковский и Данильченко.
4. функции, заданной в той или иной форме. Ответы:
I вар.: неявно заданная функция трёх переменных: любое выражение вида
f(x,y,z) = 0
II вар.: параметрически заданная функция двух переменных: система из двух уравнений, каждое из который содержит переменную и параметр (необходимо было указать, что именно есть параметр). Например, функция переменных x и y, заданная при помощи параметра t:
x = f_1(t),
y = f_2(t).

5. Дать определение
I вар.: бесконечно большой последовательности. Ответ должен звучать примерно так: "бесконечно большой последовательностью называют числовую последовательность {x_n}, обладающую свойством..."
II вар.: числа e (числа Эйлера, основания натуральных логарифмов). Все написали, что это число, равное 2.71... Однако такое определение несёт мало информации: из него непонятно, чем число 2.71... лучше любого другого числа, скажем, 7.21... Я достаточно долго рассказывал про то, что число e есть предел последовательности (1+1/n)^n. Или, что e есть сумма ряда 1+1/1!+1/2!+1/3! + ... Но, к моему сожалению, об этом никто ничего не сказал.

Проверочное задание №3

Решение задания будет опубликовано чуть позже.

Краткий комментарий по результатам:

1. Решить систему, сводящуюся к квадратному уравнению. Правильный ответ получили Турчин и Моисеенко. Остальные, пытавшиеся решить, либо ошиблись при решении, либо не довели его до конца.

2. Решить биквадратное уравнение. Правильно вычислил все четыре корня только Вячеслав Турчин. Будьте внимательны: многие напутали знаки при вычислении дискриминанта и корней. Кроме того, не забывайте сокращать общие множители в числителе и знаменателе (в том числе и знак "минус"). Это упростит вам жизнь.

3. Дать определение. Сделали практически все. С некоторых снята часть балла за то, что написана формула, но самого определения нет. Пожалуйста, привыкайте давать определения чётко: если просят определить что-то, то определение должно быть конкретным: "что-то есть то-то и то-то", "что-то есть величина, заданная формулой ... , где ..." и т.п.

4. Вычислить предел. Правильный ответ дал только Роман. В обоих вариантах ответ "x_n стремится к нулю". Большинство решающих почему-то получили неопределённость.

5. Доказать теорему. На лекции я примерно рассказал о пути решения. За решение полагалось 2 бонусных балла (то есть максимум три балла). Ирина и Вячеслав правильно поняли способ доказательства, но не довели рассуждение до конца. Получили 2 и 1 балл соответственно.

Проверочное задание №2

Тут лежит решение проверочного задания, которое было предложено в среду, 17 сентября 2008.

Уважаемые студенты, хочу вас предупредить, что мы будем продолжать решать квадратные уравнения на каждой проверочной работе. До тех пор, пока вы не научитесь это делать не задумываясь, и при этом получая правильный ответ. Поэтому у меня к вам просьба: пожалуйста, разберитесь с этим поскорее. Иначе не останется времени на более содержательные задания. Я постараюсь до конца этой недели сделать для вас подборку задач на эту тему…